Banach-Mazur compactum - Banach–Mazur compactum - Wikipedia

İçinde matematiksel çalışma fonksiyonel Analiz, Banach-Mazur mesafesi tanımlamanın bir yoludur mesafe sette Q(n) nın-nin n-boyutlu normlu uzaylar. Bu mesafe ile izometri sınıfları nboyutlu normlu uzaylar bir kompakt metrik uzay, aradı Banach-Mazur compactum.

Tanımlar

Eğer X ve Y aynı boyutta iki sonlu boyutlu normlu uzaydır, bırakın GL (X,Y) tüm doğrusal izomorfizmlerin koleksiyonunu gösterir T : X → Y. İle || T || biz gösteririz operatör normu böyle bir doğrusal haritanın - vektörleri "uzattığı" maksimum faktör. Banach-Mazur arasındaki mesafe X ve Y tarafından tanımlanır

Δ (X, Y) = 0 ancak ve ancak boşluklar X ve Y izometrik olarak izomorfiktir. Metrik ile donatılmış δizometri sınıflarının uzayı nboyutlu normlu uzaylar bir kompakt metrik uzay, Banach-Mazur compactum olarak adlandırılır.

Birçok yazar, çarpımsal Banach-Mazur mesafesi

hangisi için d(X, Z) ≤ d(X, Y) d(Y, Z) ve d(X, X) = 1.

Özellikleri

F. John teoremi dışbükey bir gövdede bulunan maksimal elipsoid üzerinde şu tahmini verir:

[1]

nerede ℓn2 gösterir Rn Öklid normu ile (aşağıdaki makaleye bakın) Lp boşluklar Bundan şu sonuç çıkar: d(X, Y) ≤ n hepsi için X, Y ∈ Q(n). Bununla birlikte, klasik uzaylar için, bu üst sınırın çapı Q(n) yaklaşmaktan uzaktır. Örneğin, ℓ arasındaki mesafen1 ve ℓn sipariş (sadece) n1/2 (boyuttan bağımsız bir çarpımsal sabite kadar n).

Çapını tahmin etme yönünde büyük bir başarı Q(n), 1981'de Banach – Mazur kompaktumunun (çarpımsal) çapının aşağıdaki sınırlarla sınırlandığını kanıtlayan E. Gluskin'e bağlıdır. c nbazı evrensel için c > 0.

Gluskin'in yöntemi bir rastgele simetrik politop sınıfı sunar P(ω) içinde Rnve normlu uzaylar X(ω) sahip olmak P(ω) birim top olarak (vektör uzayı Rn ve norm şudur: ölçü nın-nin P(ω)). Kanıt, gerekli tahminin normlu uzayın iki bağımsız kopyası için büyük olasılıkla doğru olduğunu göstermekten ibarettir. X(ω).

Q(2) bir mutlak ekstansör.[2] Diğer taraftan, Q(2) bir için homeomorfik değildir Hilbert küpü.

Notlar

Referanslar

  • Giannopoulos, A.A. (2001) [1994], "Banach-Mazur compactum", Matematik Ansiklopedisi, EMS Basın
  • Gluskin, Efim D. (1981). "Minkowski kompaktumunun çapı kabaca eşittir n (Rusça)". Funktsional. Anal. ben Prilozhen. 15 (1): 72–73. BAY  0609798.
  • Tomczak-Jaegermann, Nicole (1989). Banach-Mazur mesafeleri ve sonlu boyutlu operatör idealleri. Pitman Monografları ve Saf ve Uygulamalı Matematikte Araştırmalar 38. Longman Bilimsel ve Teknik, Harlow; Amerika Birleşik Devletleri'nde John Wiley & Sons, Inc., New York ile birlikte yayınlandı. s. xii + 395. ISBN  0-582-01374-7. BAY  0993774.
  • https://planetmath.org/BanachMazurCompactum
  • Banach-Mazur'un kübe olan uzaklığı hakkında bir not
  • Banach-Mazur compactum, bir Hilbert küp manifoldunun Alexandroff kompaktlaştırmasıdır