Tutarlı topoloji - Coherent topology

İçinde topoloji, bir uyumlu topoloji bir topoloji bir aile tarafından benzersiz şekilde belirlenir alt uzaylar. Kabaca konuşmak, a topolojik uzay eğer bir alt uzaylar ailesiyle uyumludur topolojik birlik bu alt uzaylardan. Ayrıca bazen denir zayıf topoloji Alt uzaylar ailesi tarafından üretilen, bir dizi haritanın oluşturduğu zayıf topoloji kavramından oldukça farklı bir kavram.^[1]

Tanım

İzin Vermek X olmak topolojik uzay ve izin ver C = {C_α : α ∈ Bir} olmak aile alt kümelerinin yüzdesi X alt uzay topolojisi ile. (tipik C olacak örtmek nın-nin X). Sonra X olduğu söyleniyor uyumlu C (veya tarafından karar verildi C)^[2] topolojisi X gelen olarak kurtarılır son topoloji tarafından oluşturulan dahil etme haritaları

${displaystyle i_ {alpha}: C_ {alpha} o A'da Xqquad alpha}$

Tanım gereği bu, en iyi topoloji on (temeldeki set) X dahil etme haritalarının olduğu sürekli.Eğer C kapağı X, sonra X ile tutarlı C Aşağıdaki iki eşdeğer koşuldan biri geçerliyse:

• Bir alt küme U dır-dir açık içinde X ancak ve ancak U ∩ C_α açık C_α her α ∈ için Bir.
• Bir alt küme U dır-dir kapalı içinde X ancak ve ancak U ∩ C_α kapalı C_α her α ∈ için Bir.

Yukarıdakiler doğru değildir C kapsamaz X

Topolojik bir uzay verildiğinde X ve herhangi bir alt uzay ailesi C benzersiz bir topoloji var (temeldeki set) X ile tutarlı C. Bu topoloji genel olarak daha ince verilen topolojiden daha X.

Örnekler

• Bir topolojik uzay X her şeyle tutarlı açık kapak nın-nin X.
• Bir topolojik uzay X her biri ile tutarlı yerel olarak sonlu kapalı kapak X.
• Bir ayrık uzay her alt uzay ailesi ile uyumludur (dahil boş aile ).
• Bir topolojik uzay X ile tutarlıdır bölüm nın-nin X eğer ve sadece X dır-dir homomorfik için ayrık birlik bölüm öğelerinin.
• Sonlu oluşturulmuş alanlar herkesin ailesi tarafından belirlenir mi sonlu alt uzaylar.
• Kompakt olarak oluşturulmuş alanlar herkesin ailesi tarafından belirlenir mi kompakt alt uzaylar.
• Bir CW kompleksi X ailesi ile uyumludur niskeletler X_n.

Topolojik birlik

İzin Vermek ${displaystyle {X_ {alpha}, alpha in A}}$ ailesi olmak (zorunlu değil ayrık ) topolojik uzaylar öyle ki indüklenmiş topolojiler her biri üzerinde anlaş kavşak X_α ∩ X_β. Daha ileri varsayalım X_α ∩ X_β kapalı X_α her α için β. Sonra topolojik birlikX ... küme teorik birliği

${displaystyle X ^ {set} = igcup _ {alpha in A} X_ {alpha}}$

dahil etme haritalarının oluşturduğu son topoloji ile donatılmış ${displaystyle i_ {alpha}: X_ {alpha} o X ^ {set}}$. Dahil etme haritaları daha sonra topolojik yerleştirmeler ve X alt uzaylarla tutarlı olacak {X_α}.

Tersine, eğer X bir alt uzay ailesiyle uyumludur {C_α} bu kapak X, sonra X dır-dir homomorfik ailenin topolojik birliğine {C_α}.

Yukarıdaki gibi rasgele bir topolojik uzay ailesinin topolojik birliği oluşturulabilir, ancak topolojiler kesişimler üzerinde uyuşmuyorsa, bu durumda eklemeler ille de gömme olmayacaktır.

Topolojik birleşimi, ayrık birlik. Özellikle, eğer X ailenin topolojik bir birleşimidir {X_α}, sonra X homeomorfiktir bölüm Ailenin ayrık birliğinin {X_α} tarafından denklik ilişkisi

${displaystyle (x, alpha) sim (y, eta) Leftrightarrow x = y}$

tüm α, β in Bir. Yani,

${displaystyle Xcong coprod _ {alpha in A} X_ {alpha} / sim.}$

Boşluklar {X_α} hepsi ayrıksa, topolojik birleşim sadece ayrık birleşimdir.

Şimdi, A kümesinin yönetilen, dahil etme ile uyumlu bir şekilde: ${displaystyle alpha leq eta}$ her ne zaman ${displaystyle X_ {alfa} alt küme X_ {eta}}$. Sonra benzersiz bir harita var ${displaystyle varinjlim X_ {alfa}}$ -e X, bu aslında bir homeomorfizmdir. Buraya ${displaystyle varinjlim X_ {alfa}}$ ... doğrudan (endüktif) limit (eşzamanlı olmak ) nın-nin {X_α} kategoride Üst.

Özellikleri

İzin Vermek X alt uzaylar ailesiyle tutarlı olun {C_α}. Bir harita f : X → Y dır-dir sürekli ancak ve ancak kısıtlamalar

${displaystyle f | _ {C_ {alpha}}: C_ {alpha} o Y,}$

her α ∈ için süreklidir Bir. Bu evrensel mülkiyet tutarlı topolojileri, bir uzay X ile tutarlı C ancak ve ancak bu özellik tüm alanlar için geçerliyse Y ve tüm işlevler f : X → Y.

İzin Vermek X tarafından belirlenecek örtmek C = {C_α}. Sonra

• Eğer C bir inceltme bir kapağın D, sonra X Tarafından belirlenir D.
• Eğer D bir inceliktir C ve her biri C_α herkesin ailesi tarafından belirlenir D_β içerdiği C_α sonra X Tarafından belirlenir D.

İzin Vermek X tarafından belirlenecekC_α} ve izin ver Y açık veya kapalı ol alt uzay nın-nin X. Sonra Y Tarafından belirlenir {Y ∩ C_α}.

İzin Vermek X tarafından belirlenecekC_α} ve izin ver f : X → Y olmak bölüm haritası. Sonra Y {f (C_α)}.

İzin Vermek f : X → Y olmak örten harita ve varsayalım Y Tarafından belirlenir {D_α : α ∈ Bir}. Her α ∈ için Bir İzin Vermek

${displaystyle f_ {alfa}: f ^ {- 1} (D_ {alfa}) o D_ {alfa},}$

kısıtlamak f -e f⁻¹(D_α). Sonra

• Eğer f süreklidir ve her biri f_α bölüm haritasıdır, o zaman f bölüm haritasıdır.
• f bir kapalı harita (resp. haritayı aç ) ancak ve ancak her biri f_α kapalı (açık).

Notlar

Referanslar

• Tanaka, Yoshio (2004). "Bölüm Uzayları ve Ayrıştırmalar". K.P. Hart; J. Nagata; J.E. Vaughan (editörler). Genel Topoloji Ansiklopedisi. Amsterdam: Elsevier Science. sayfa 43–46. ISBN  0-444-50355-2.
• Willard, Stephen (1970). Genel Topoloji. Okuma, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN  0-486-43479-6 (Dover baskısı).