Fonksiyonel denklem (L fonksiyonu) - Functional equation (L-function)
 | Bu makale için ek alıntılara ihtiyaç var doğrulama. (Aralık 2009) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin) |
İçinde matematik, L fonksiyonları nın-nin sayı teorisi birkaç karakteristik özelliğe sahip olması beklenir, bunlardan biri belirli fonksiyonel denklemler. Bu denklemlerin ne olması gerektiğine dair, çoğu hala varsayımsal olan ayrıntılı bir teori var.
Giriş
Prototip bir örnek, Riemann zeta işlevi değeriyle ilgili fonksiyonel bir denkleme sahiptir. karmaşık sayı s değeri 1 - s. Her durumda bu, bir değerle ilgilidir rel (s) sadece tarafından tanımlanan analitik devam -den sonsuz seriler tanım. Yani, geleneksel olduğu gibi yazmak - gerçek kısmı için σ s, fonksiyonel denklem durumları ilişkilendirir
- σ> 1 ve σ <0,
ve ayrıca bir vakayı değiştirir
- 0 <σ <1
içinde kritik şerit böyle bir başka duruma, σ = ½ doğrusunda yansıtılır. Bu nedenle, bir bütün olarak zeta fonksiyonunu incelemek için fonksiyonel denklemin kullanımı temeldir. karmaşık düzlem.
Riemann zeta fonksiyonu için söz konusu fonksiyonel denklem basit şekli alır
nerede Z(s) ζ (s) ile çarpılır gama faktörüdahil gama işlevi. Bu, artık "ekstra" faktör olarak okunmaktadır. Euler ürünü zeta işlevi için karşılık gelen sonsuz asal. Fonksiyonel denklemin sadece aynı şekli, Dedekind zeta fonksiyonu bir sayı alanı K, yalnızca düğünlerine bağlı olan uygun bir gama faktörü ile K (cebirsel olarak tensör ürünü nın-nin K ile gerçek alan ).
İçin benzer bir denklem var Dirichlet L fonksiyonları ama bu sefer onları çiftler halinde ilişkilendirin:[1]
χ a ile ilkel Dirichlet karakteri, χ* karmaşık eşleniği, Λ L fonksiyonu bir gama faktörü ile çarpılır ve ε karmaşık bir sayı mutlak değer 1, şekil
nerede G(χ) bir Gauss toplamı χ oluşur. Bu denklem her iki tarafta da aynı işleve sahiptir, ancak ve ancak a bir gerçek karakter, {0,1, −1} cinsinden değerler alıyor. O zaman ε 1 veya −1 olmalıdır ve −1 değerinin durumu sıfır anlamına gelir Λ(s) s = ½. Gauss toplamlarının teorisine (aslında Gauss'un) göre, değer her zaman 1'dir, bu nedenle böyle değildir basit sıfır olabilir (işlev hatta nokta hakkında).
Fonksiyonel denklemler teorisi
Bu tür fonksiyonel denklemlerin birleşik bir teorisi, Erich Hecke ve teori yeniden ele alındı Tate'in tezi tarafından John Tate. Hecke, sayı alanlarının genelleştirilmiş karakterlerini buldu, şimdi adı Hecke karakterler, bunun için kanıtı (dayalı teta fonksiyonları ) da çalıştı. Bu karakterler ve bunlarla ilişkili L-işlevlerinin artık kesinlikle aşağıdakilerle ilişkili olduğu anlaşılmıştır: karmaşık çarpma Dirichlet karakterleri gibi siklotomik alanlar.
Bunun için fonksiyonel denklemler de vardır. yerel zeta fonksiyonları (analogu) için temel düzeyde ortaya çıkan Poincaré ikiliği içinde étale kohomolojisi. Euler ürünleri Hasse – Weil zeta işlevi bir ... için cebirsel çeşitlilik V bir sayı alanı üzerinde Kindirgenerek oluşturulmuştur modulo ana idealler yerel zeta fonksiyonlarını elde etmek için, bir küresel fonksiyonel denklem; ancak bu, şu anda özel durumlar dışında erişilemez olarak kabul edilmektedir. Tanım yine doğrudan étale kohomoloji teorisinden okunabilir; ancak genel olarak bazı varsayımlar otomorfik gösterim fonksiyonel denklemi elde etmek için teori gerekli görünüyor. Taniyama-Shimura varsayımı genel teori olarak bunun özel bir durumuydu. Gama faktörü yönünü Hodge teorisi ve beklenen ε faktörünün ayrıntılı çalışmaları, deneysel olarak teori, kanıtlar eksik olsa bile oldukça rafine bir duruma getirilmiştir.
Ayrıca bakınız
- açık formül (L-işlevi)
- Riemann-Siegel formülü (özellikle yaklaşık fonksiyonel denklem)