Hiperharmonik sayı - Hyperharmonic number - Wikipedia

İçinde matematik, n-nci hiperharmonik sayı düzenin rile gösterilir ${ displaystyle H_ {n} ^ {(r)}}$, özyinelemeli olarak şu ilişkilerle tanımlanır:

${ displaystyle H_ {n} ^ {(0)} = { frac {1} {n}},}$

ve

${ displaystyle H_ {n} ^ {(r)} = toplam _ {k = 1} ^ {n} H_ {k} ^ {(r-1)} quad (r> 0).}$^{[kaynak belirtilmeli ]}

Özellikle, ${ displaystyle H_ {n} = H_ {n} ^ {(1)}}$ ... n-nci harmonik sayı.

Hiperharmonik sayılar tarafından tartışıldı J. H. Conway ve R. K. Guy 1995 kitaplarında Sayılar Kitabı.^[1]:258

Hiperharmonik sayıları içeren kimlikler

Tanım olarak, hiperharmonik sayılar, Tekrarlama ilişkisi

${ displaystyle H_ {n} ^ {(r)} = H_ {n-1} ^ {(r)} + ​​H_ {n} ^ {(r-1)}.}$

Yinelemelerin yerine, bu sayıları hesaplamak için daha etkili bir formül var:

${ displaystyle H_ {n} ^ {(r)} = { binom {n + r-1} {r-1}} (H_ {n + r-1} -H_ {r-1}).}$

Hiperharmonik sayılar, permütasyon kombinasyonlarıyla güçlü bir ilişkiye sahiptir. Kimliğin genelleştirilmesi

${ displaystyle H_ {n} = { frac {1} {n!}} sol [{n + 1 atop 2} sağ].}$

olarak okur

${ displaystyle H_ {n} ^ {(r)} = { frac {1} {n!}} sol [{n + r atop r + 1} sağ] _ {r},}$

nerede ${ displaystyle sol [{n atop r} sağ] _ {r}}$ bir r-İlk türden tel çekme numarası.^[2]

Asimptotik

Binom katsayılı yukarıdaki ifade, tüm sabit sıralar için bunu kolayca verir r> = 2 sahibiz.^[3]

${ displaystyle H_ {n} ^ {(r)} sim { frac {1} {(r-1)!}} sol (n ^ {r-1} ln (n) sağ),}$

diğer bir deyişle, sol ve sağ tarafın bölümü 1'e n sonsuzluğa meyillidir.

Acil bir sonuç şudur:

${ displaystyle toplamı _ {n = 1} ^ { infty} { frac {H_ {n} ^ {(r)}} {n ^ {m}}} <+ infty}$

ne zaman m> r.

Fonksiyon ve sonsuz seriler oluşturma

oluşturma işlevi Hiperharmonik sayıların içinde

${ displaystyle toplamı _ {n = 0} ^ { infty} H_ {n} ^ {(r)} z ^ {n} = - { frac { ln (1-z)} {(1-z ) ^ {r}}}.}$

üstel üretme işlevi çıkarmak çok daha zordur. Herkes için buna sahip r = 1,2, ...

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} H_ {n} ^ {(r)} { frac {t ^ {n}} {n!}} = e ^ {t} sol ( toplam _ {n = 1} ^ {r-1} H_ {n} ^ {(rn)} { frac {t ^ {n}} {n!}} + { frac {(r-1)! } {(r!) ^ {2}}} t ^ {r} , _ {2} F_ {2} left (1,1; r + 1, r + 1; -t right) sağ) ,}$

nerede ₂F₂ bir hipergeometrik fonksiyon. r = 1 harmonik sayılar için durum klasik bir sonuçtur, genel olanı 2009 yılında I. Meze ve A. Dil tarafından kanıtlanmıştır.^[4]

Bir sonraki ilişki, hiperharmonik sayıları Hurwitz zeta işlevi:^[3]

${ displaystyle toplamı _ {n = 1} ^ { infty} { frac {H_ {n} ^ {(r)}} {n ^ {m}}} = toplam _ {n = 1} ^ { infty} H_ {n} ^ {(r-1)} zeta (m, n) quad (r geq 1, m geq r + 1).}$

Açık bir varsayım

Harmonik sayıların hiçbir zaman tam sayı olmadığı bilinmektedir. n = 1. Hiperharmonik sayılarla ilgili olarak da aynı soru sorulabilir: Tam sayı hiperharmonik sayılar var mı? István Mező kanıtladı^[5] Eğer r = 2 veya r = 3Bu sayılar, önemsiz durum dışında hiçbir zaman tamsayı değildir. n = 1. Bunun her zaman böyle olduğunu, yani hiperharmonik sıra sayılarını varsaydı. r hiçbir zaman tam sayı değildir n = 1. Bu varsayım, R. Amrane ve H. Belbachir tarafından bir sınıf parametre için doğrulanmıştır.^[6] Özellikle bu yazarlar bunu kanıtladı ${ displaystyle H_ {n} ^ {(4)}}$ herkes için tamsayı değil r <26 ve n = 2,3, ... Yüksek siparişlere genişletme Göral ve Sertbaş tarafından yapıldı.^[7] Bu yazarlar ayrıca şunu da göstermiştir: ${ displaystyle H_ {n} ^ {(r)}}$ asla tamsayı değildir n eşittir veya birincil güçtür, veya r garip.

Diğer bir sonuç şudur.^[8] İzin Vermek ${ displaystyle S (x)}$ tamsayı olmayan hiperharmonik sayıların sayısı olacak ki ${ displaystyle (n, x) in [0, x] times [0, x]}$. Sonra, varsayarsak Cramér varsayımı,

${ displaystyle S (x) = x ^ {2} + O (x log ^ {3} x).}$

Tamsayı kafes sayısının ${ displaystyle [0, x] times [0, x]}$ dır-dir ${ displaystyle x ^ {2} + O (x ^ {2})}$Bu, hiperharmonik sayıların çoğunun tam sayı olamayacağını gösterir. Ancak varsayım hala açıktır.

Dış bağlantılar

• Wolfram MathWorld

Notlar