Bir kürede ters çevirme - Inversion in a sphere

Bu makalenin birden çok sorunu var. Lütfen yardım et onu geliştir veya bu konuları konuşma sayfası. (Bu şablon mesajların nasıl ve ne zaman kaldırılacağını öğrenin) Bu makale çoğu okuyucunun anlayamayacağı kadar teknik olabilir. Lütfen geliştirmeye yardım et -e uzman olmayanlar için anlaşılır hale getirinteknik detayları kaldırmadan. (Mart 2012) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin) Bu makale için ek alıntılara ihtiyaç var doğrulama. Lütfen yardım et bu makaleyi geliştir tarafından güvenilir kaynaklara alıntılar eklemek. Kaynaksız materyale itiraz edilebilir ve kaldırılabilir. Kaynakları bulun: "Bir kürede ters çevirme"  – Haberler  · gazeteler  · kitabın  · akademisyen  · JSTOR (Mart 2012) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin) Bu makale gibi yazılmıştır kişisel düşünme, kişisel deneme veya tartışmaya dayalı deneme bir Wikipedia editörünün kişisel duygularını ifade eden veya bir konu hakkında orijinal bir argüman sunan. Lütfen geliştirmeye yardım et yeniden yazarak ansiklopedik tarz. (Mart 2012) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

Küreden geçen bir silindirin ters çevrilmesi.

İçinde geometri, bir kürede ters çevirme bir dönüşüm nın-nin Öklid uzayı o düzeltmeler bir küre kürenin içindeki noktaları kürenin dışına gönderirken, tersi de geçerlidir. Sezgisel olarak, kürenin üzerindeki noktaları değiştirmeden bırakırken kürenin "içini ve dışını değiştirir". Ters çevirme bir konformal dönüşüm ve temel işlemdir ters geometri; bu bir genellemedir bir daire içinde ters çevirme.

Tanım

Bir küredeki ters çevirme, en kolay şekilde kullanılarak tanımlanır kutupsal koordinatlar. Bir sistem seçin afin koordinatlar böylece kürenin merkezi, Menşei ve yarıçap kürenin 1'dir. Daha sonra her nokta şeklinde yazılabilir rv, nerede r noktadan başlangıç ​​noktasına olan mesafedir ve v bir birim vektör; dahası, köken dışındaki her nokta için bu temsil benzersizdir. Bir noktanın böyle bir temsili verildiğinde, küresel ters çevirme altındaki görüntüsü nokta olarak tanımlanır r⁻¹v. Bu bir homomorfizm itibaren ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n} setminus {0 }}$ kendisine. Öklid uzayından kendisine bir harita olarak, küresel tersine çevirme haritası başlangıçta tanımlanmamıştır, ancak onu genişletebiliriz. ${ displaystyle { overline { mathbb {R} ^ {n}}}}$, tek noktalı sıkıştırma nın-nin ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$, 0'ın sonsuza gönderilmesi ve sonsuzluğun 0'a gönderilmesi gerektiğini belirterek, küresel ters çevirme bir homeomorfizm olarak düşünülebilir. ${ displaystyle { overline { mathbb {R} ^ {n}}}}$.

Özellikleri

Ters çevirme kendi kendine ters ve kürenin üzerindeki noktaları düzeltir. Bir doğrunun tersi bir daire referans kürenin ortasından ve tam tersi. Bir düzlemin tersi, referans kürenin merkezinden geçen bir küredir ve bunun tersi de geçerlidir. Aksi takdirde çemberin tersi çemberdir; bir kürenin tersi bir küredir.

Bir küredeki tersine çevirme, güçlü bir dönüşümdür. Basit bir örnek harita projeksiyonu Kuzey veya Güney Kutbu'nun olağan izdüşümü (stereografik projeksiyon ), Dünya'dan bir düzleme dönüşmedir. Bir direği merkez yapmak yerine bir şehir seçersek, Inversion o şehirden uçmak için en kısa rotaların (büyük daireler) tüm yolcular için uçuş yolunu basitleştirecek düz çizgiler olarak görüneceği bir harita oluşturabilir. en az.

Kanıtlar

Referans küre, merkez O ve yarıçap r {O, r} ile gösterilecek şekilde Σ olsun. Bu yazıda tüm tersler Σ küresinin içindedir.

Bu makaledeki sonuçlar üç basit fikre dayanmaktadır:

1. Benzer üçgenler: Ölçekli bir model, orijinal ile aynı şekle sahiptir, yani tüm açılar korunur.

2. Yarım daire içindeki açı dik açıdır. Örneğin, yarım daire üzerindeki herhangi bir nokta için, köşegen dik açı yapar (90^Ö).

3. Bir üçgenin açılarının toplamı 180'dir^Öyani bir dış açı, diğer iki iç açının toplamına eşittir.

Tanım

• P, O'dan n> 0 mesafede bir nokta olsun.
• P ', OP ile aynı yönde OP.OP' = r olacak şekilde OP üzerinde bir nokta ise², sonra P ve P 'ters noktalardır
• Eğer n> r ise, OP '
• Σ yüzeyindeki noktalar, kendi kendine ters olan tek noktadır.

İnşaat

• Bir daire içinde ters çevirmede olduğu gibi, kürenin dışındaki bir P noktası için olağan yapı, OP'den herhangi bir düzlemi almaktır.
  düzlemde P'den Σ'ye teğetler çizin, S, T'de buluştu.
• Akor ST'nin OP ile kesişimi P 'verir. (Üçgenler OPS, OSP 'benzerdir.)
• Σ içindeki bir P noktası için, OP üzerinden bir düzlem alın, bu düzlemde kürenin bir kirişini çizin, P'de OP'ye normal, S, T'de Σ ile buluşma.
• Düzlemde, P'nin tersi olan P 'de buluşmak için teğetler çizin.
• Her iki durumda da, dik açılı üçgenler, OPT, OTP 'benzerdir, dolayısıyla OP / OT = OT / OP'

(Bkz. Şekil 1)

Şekil 1

Bir çift noktanın ters çevrilmesi

• Ters A ', B' ile iki A ve B noktası verildiğinde; OA'.OA = r², OB'.OB = r².
• Yani OA '/ OB' = OB / OA.
• 'AOB' B'OA 'olduğundan, AOB, B'OA' üçgenleri benzerdir.
• Yani ∠OAB = ∠OB'A ', ∠OBA = ∠OA'B'.

(Bkz. Şekil 2)

İncir. 2

Bir çizginin tersi

• Çizgi Σ ile kesişirse, o zaman sadece iki kesişme noktası kendinden tersidir.
• O doğru üzerinde yer alıyorsa, o zaman doğru kendisinin tersidir;

• Başka,

• P, ters P 'ile, O'dan doğruya dikinin ayağı olsun ve X, doğru üzerindeki herhangi bir nokta, ters X' ile olsun,
• 'Bir çift noktanın ters çevrilmesi' ile, 'OX'P' = ∠OPX = 90^Ö.
• Yani X ', OP' çapıyla O boyunca bir çember üzerinde uzanır. (Yarım daire içindeki açı dik açıdır)

(Bkz. Şekil 3)

Şek. 3

Not 4: Genel olarak, bir doğrunun tersi, referans merkezinden geçen bir çemberdir.

Bir uçağın tersi

• Düzlem Σ ile kesişirse, kesişme çemberinin her noktası kendiliğinden tersidir.
• O düzlemde bulunuyorsa, tersi düzlemdir;
• Başka:

• O'dan düzleme dik olanın ayağı, ters P 'ile P olsun.
• X, düzlemde ters X 'ile herhangi bir nokta olsun.
• 'Bir çift noktanın ters çevrilmesi' ile, 'OX'P' = ∠OPX = 90^Ö.
• X 'OP' çapına sahip bir küre üzerinde yer alır. (Yarım daire içindeki açı bir dikdörtgendir)

Not 5: Genel olarak, bir düzlemin tersi, referans merkezinden geçen bir küredir.

Bir Kürenin Tersi

• Küre {A, a} olsun, yani merkez A ve yarıçap a> 0 olsun.
• Küre {A, a} Σ ile kesişirse, kendi kendini tersine çeviren tek noktalar kesişme çemberi üzerindedir.
• Eğer A O'daysa, kürenin tersi {A, a} yarıçapı r olan eş merkezli bir küredir.²/ a;

(Önemsiz bir şekilde, eğer a = r ise, o zaman {A, a} üzerindeki her nokta kendisinin tersidir.)

• Başka

• O, {A, a} küresinin üzerinde yer alıyorsa,
• O zaman P, {A, a} küresi üzerinde O'nun taban tabana zıttı bir nokta olsun, P ', P'nin tersidir.
• X'in tersi X 'ile {A, a} küresi üzerinde herhangi bir nokta olsun.
• Sonra 'Bir çift noktanın ters çevrilmesi' ile ∠OP'X '= ∠OXP = 90^Ö (yarım daire içinde açı).
• Bu, küre {A, a} üzerindeki tüm noktalar için geçerlidir.
• Yani X ', P' normalden OP'ye 'bir düzlemde uzanır.

• Başka,

• S, T, OA ve kürenin {A, a} kesişimleri olsun, S ', T' tersleri ile.
• ST, {A, a} çapındadır.
• X, {A, a} küresi üzerinde ters X 'ile herhangi bir nokta olsun.
• ∠OXT = ∠OT'X 've ∠OXS = ∠OS'X'. (bir çift noktanın tersi)

• T, S, O'nun aynı tarafında yer alıyorsa.

• ∠T'X'S '= ∠OX'S' - ∠OX'T '
• = ∠OSX - ∠OTX (Bir çift noktanın ters çevrilmesi).
• = ∠TXS (dış açı, iç açıların toplamına eşittir)
• = 90^Ö (yarım daire içindeki açı dik açıdır)
• Yani X ', T'S' çapıyla yarım daire üzerinde uzanır.
• Bu, küre {A, a} üzerindeki her nokta için geçerlidir.
• Yani X ', çap olarak T'S' ile bir küre üzerinde uzanır.

(Bkz. Şekil 4)

Şekil 4

• T, S, O'nun zıt taraflarında yer alıyorsa:

• ∠OXT + ∠OXS = 90^Ö (yarım daire içindeki açı bir dikdörtgendir).
• ∠T'X'S '= ∠OX'T' + ∠OX'S '
• = ∠OTX + ∠OSX (bir çift noktanın tersi).
• = 180^Ö - ∠TXS (üçgendeki açıların toplamı 180^Ö)
• Yani ∠T'X'S '= 90^Öve X ', çap olarak T'S' ile yarım daire üzerinde uzanır (yarım daire içindeki açı bir dikdörtgendir).
• Eskisi gibi:
• Bu, küre {A, a} üzerindeki her nokta için geçerlidir.
• Yani X ', çap olarak T'S' ile bir küre üzerinde uzanır.

(Bkz. Şekil 5)

Şekil 5

Not 6: Genel olarak bir kürenin tersi bir küredir
(Tek istisna, referans kürenin merkezinin küre üzerinde olmasıdır.)

Bir dairenin tersi

• Çember, merkezi C ve yarıçapı a olacak şekilde, bir düzleminde uzanacak şekilde c olsun.
• Eğer c küre ile kesişirse, kendi kendine tersi tek nokta bu iki kesişim noktasıdır.
• S, T, c'nin O'dan en yakın ve en uzak noktaları olsun (yani OT> OS), T ', S' tersleri ile,
• C O'daysa, c'nin tersi yarıçapı r olan eşmerkezli bir çemberdir.²/ a;

• Başka

• O c üzerinde yatıyorsa,
• O zaman OP, c'nin çapı, P ', P'nin tersi olsun.
• X, ters X 'ile çemberin herhangi bir noktası olsun.
• 'Bir çift noktanın ters çevrilmesi' ile, ∠OP'X '= ∠OXP = 90^Ö.
• Çemberin noktalarının tersi, OP'ye normal olan c düzleminde bir doğru üzerinde bulunur;

• Başka

• O, c düzleminde yer alıyorsa, o zaman c, O, S, T'den geçen bir düzlemde büyük bir küre {C, a} çemberidir, dolayısıyla bir kürenin tersine uygulanan argümanlar c çemberinin tersi için de geçerlidir. Bölüm 6'daki tüm sonuçlara benzer sonuçlarla.

(Bkz. Şekil 3, 4, 5)

• Başka,

• O'nun ψ üzerinde olmadığı genel durumda c'nin düzlemi;
• A, B, C'den geçen bir doğru üzerinde, to'ya dik iki nokta olsun.
• Λ, Ω, c'den iki küre olsun, A, B merkezleri ile, ne O ile değil.
• ', Ω' küreleri Λ, Ω'nin tersi olsun (Not 6'ya bakınız).
• C'nin tersinin her noktası hem Λ 'hem de Ω' üzerindedir.
• Λ ', Ω' kürelerinin kesişimi bir c 'çemberidir, örneğin c'nin tersi.

• AB doğrusu üzerinde O lis ise, projeksiyon konisi sağ daireseldir,

ve eğer c Σ küresi üzerinde yer alıyorsa, c'nin her noktası kendisinin tersidir;

Not 7: Genellikle bir dairenin tersi bir çemberdir.

(Tek istisna, referans kürenin merkezinin dairenin üzerinde olmasıdır.

Bir kürede ters çevirmenin sonuçları

1. Ters dönmenin merkezinden geçen bir çizgi, kendiliğinden tersidir.
2. Genel olarak, bir doğrunun tersi, ters çevirme merkezinden geçen bir çemberdir.
3. Ters çevirme merkezinden geçen bir çemberin tersi bir doğrudur.
4. Genellikle bir dairenin tersi bir çemberdir.
5. Ters dönmenin merkezinden geçen bir düzlem, kendiliğinden tersidir.
6. Genel olarak, bir düzlemin tersi, ters çevirme merkezinden geçen bir küredir.
7. Bir kürenin tersinme merkezinden geçen tersi bir düzlemdir.
8. Genellikle bir kürenin tersi bir küredir.

Ayrıca bakınız

• Ters geometri
• Ters eğri
• Eğrilerin ve yüzeylerin ters çevrilmesi (Almanca)

Referanslar