Lorenz eğrisi - Lorenz curve

Tipik bir Lorenz eğrisi

İçinde ekonomi, Lorenz eğrisi grafik bir temsilidir Gelir dağılımı veya servet. Tarafından geliştirilmiştir Max O. Lorenz 1905'te temsil ettiği için eşitsizlik of Servet dağılımı.

Eğri bir grafik tabanın üstlendiği toplam gelir veya servet oranını gösteren xİnsanların yüzdesi, ancak bu sonlu bir nüfus için kesin olarak doğru değildir (aşağıya bakın). Genellikle temsil etmek için kullanılır Gelir dağılımı, altta nerede gösterilir xHanelerin yüzdesi, yüzde kaçı (ysahip oldukları toplam gelirin%). yüzde hanelerin yüzdesi, x-axis, gelir yüzdesi yeksen. Ayrıca dağıtımını göstermek için de kullanılabilir. varlıklar. Böyle bir kullanımda, birçok iktisatçı, bunun bir ölçüsü olduğunu düşünür. Sosyal eşitsizlik.

Kavram, bölgedeki bireylerin büyüklükleri arasındaki eşitsizliği tanımlamada yararlıdır. ekoloji^[1] ve çalışmalarında biyolojik çeşitlilik türlerin kümülatif oranının, bireylerin kümülatif oranına göre çizildiği yer.^[2] Ayrıca, iş modeli: ör., içinde tüketici finansmanı, gerçek yüzdeyi ölçmek için y% nın-nin suçlar atfedilebilir xen kötüye sahip kişilerin yüzdesi risk puanları.

Açıklama

Lorenz eğrisinin ve Gini katsayısının 2011'de küresel gelir için türetilmesi

2005 verileri.

Lorenz eğrisindeki puanlar, "tüm hanelerin en alttaki% 20'si toplam gelirin% 10'una sahiptir" gibi ifadeleri temsil eder.

Tamamen eşit bir gelir dağılımı, herkesin aynı gelire sahip olduğu bir dağılım olacaktır. Bu durumda, alt Ntoplumun% 'si her zaman NGelir yüzdesi. Bu düz bir çizgi ile tasvir edilebilir y = x; "mükemmel eşitlik çizgisi" olarak adlandırılır.

Buna karşılık, tamamen eşitsiz bir dağılım, bir kişinin tüm gelire sahip olduğu ve diğerlerinin hiç gelmediği bir dağılım olacaktır. Bu durumda eğri şu şekilde olacaktır: y = Tümü için% 0 x <% 100 ve y =% 100 ne zaman x =% 100. Bu eğriye "mükemmel eşitsizlik çizgisi" denir.

Gini katsayısı mükemmel eşitlik çizgisi ile gözlemlenen Lorenz eğrisi arasındaki alanın, mükemmel eşitlik çizgisi ile mükemmel eşitsizlik çizgisi arasındaki alana oranıdır. Katsayı ne kadar yüksekse dağılım o kadar eşitsizdir. Sağdaki diyagramda, bu oran ile verilmiştir. Bir/(A + B), nerede Bir ve B diyagramda işaretlendiği gibi bölgelerin alanlarıdır.

Tanım ve hesaplama

Lorenz eğrisi bir olasılık grafiğidir (a P – P grafiği ) bir popülasyondaki bir parametrenin dağılımını, o parametrenin varsayımsal bir tekdüze dağılımı ile karşılaştırmak. Genellikle bir işlevle temsil edilebilir L(F), nerede F, popülasyonun kümülatif kısmı, yatay eksenle temsil edilir ve L, toplam servetin veya gelirin kümülatif kısmı, dikey eksenle temsil edilir.

Büyük bir nüfus için n, bir dizi değerle y_ben, ben = 1 ila n, azalan sırayla dizine eklenenler ( y_ben ≤ y_ben+1), Lorenz eğrisi, sürekli parçalı doğrusal fonksiyon noktaları birleştirmek ( F_ben, L_ben ), ben = 0 - n, nerede F₀ = 0, L₀ = 0 ve için ben = 1 ila n:

${displaystyle F_ {i} = i / n,}$

${displaystyle S_ {i} = Sigma _ {j = 1} ^ {i}; y_ {j},}$

${displaystyle L_ {i} = S_ {i} / S_ {n},}$

Bir ayrık olasılık işlevi f(y), İzin Vermek y_ben, ben = 1 ila n, sıfır olmayan olasılıkları artan sırayla dizine alınmış noktalar olun ( y_ben < y_ben+1). Lorenz eğrisi, noktaları birleştiren sürekli parçalı doğrusal fonksiyondur ( F_ben, L_ben ), ben = 0 - n, nerede F₀ = 0, L₀ = 0 ve için ben = 1 ila n:

${displaystyle F_ {i} = Sigma _ {j = 1} ^ {i}; f (y_ {j}),}$

${displaystyle S_ {i} = Sigma _ {j = 1} ^ {i}; f (y_ {j}), y_ {j},}$

${displaystyle L_ {i} = S_ {i} / S_ {n},}$

Bir olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) kümülatif dağılım işlevi ile F(x), Lorenz eğrisi L tarafından verilir:

${displaystyle L (F (x)) = {frac {int _ {- infty} ^ {x} t, f (t), dt} {int _ {- infty} ^ {infty} t, f (t), dt}} = {frac {int _ {- infty} ^ {x} t, f (t), dt} {mu}}}$

nerede ${displaystyle mu}$ ortalamayı gösterir. Lorenz eğrisi L (F) daha sonra x'te parametrik bir fonksiyon olarak çizilebilir: L (x) vs. F (x). Diğer bağlamlarda, burada hesaplanan miktar, uzunluğa dayalı (veya boyuta dayalı) dağılım olarak bilinir; yenilenme teorisinde de önemli bir role sahiptir.

Alternatif olarak, bir kümülatif dağılım fonksiyonu F(x) ters ile x(F), Lorenz eğrisi L(F) tarafından doğrudan verilir:

${displaystyle L (F) = {frac {int _ {0} ^ {F} x (F_ {1}), dF_ {1}} {int _ {0} ^ {1} x (F_ {1}), dF_ {1}}}}$

Ters x(F), kümülatif dağılım işlevi sabit değer aralıklarına sahip olduğundan mevcut olmayabilir. Bununla birlikte, önceki formül, tanımını genelleştirerek hala uygulanabilir. x(F):

x(F₁) = inf {y : F(y) ≥ F₁}

Lorenz eğrisinin bir örneği için bkz. Pareto dağılımı.

Özellikleri

Lorenz eğrisinin pratik bir örneği: Danimarka, Macaristan ve Namibya'nın Lorenz eğrileri

Bir Lorenz eğrisi her zaman (0,0) 'da başlar ve (1,1)' de biter.

Olasılık dağılımının ortalaması sıfır veya sonsuz ise Lorenz eğrisi tanımlanmaz.

Olasılık dağılımı için Lorenz eğrisi bir sürekli işlev. Bununla birlikte, süreksiz fonksiyonları temsil eden Lorenz eğrileri, olasılık dağılımlarının Lorenz eğrilerinin sınırı olarak inşa edilebilir, mükemmel eşitsizlik doğrusu bir örnektir.

Bir Lorenz eğrisindeki bilgiler şu şekilde özetlenebilir: Gini katsayısı ve Lorenz asimetri katsayısı.^[1]

Lorenz eğrisi, mükemmel eşitlik çizgisinin üzerine çıkamaz.

Ölçülen değişken negatif değerler alamazsa, Lorenz eğrisi:

• mükemmel eşitsizlik çizgisinin altına batamaz,
• dır-dir artan.

Ancak Lorenz eğrisinin net değer bazı insanların borç nedeniyle eksi bir net değere sahip olması nedeniyle negatife geçerek başlayacaktı.

Lorenz eğrisi, pozitif ölçeklendirme altında değişmez. Eğer X herhangi bir pozitif sayı için rastgele bir değişkendir c rastgele değişken c X aynı Lorenz eğrisine sahiptir X.

Lorenz eğrisi iki kez çevrilir, bir kez yaklaşık F = 0.5 ve bir kez yaklaşık L = 0,5, olumsuz olarak. Eğer X Lorenz eğrisine sahip rastgele bir değişkendir L_X(F), sonra -X Lorenz eğrisine sahiptir:

L _{− X} = 1 − L _X(1 − F)

Lorenz eğrisi çevirilerle değiştirilir, böylece eşitlik boşluğu F − L(F) orijinal ve çevrilmiş araçların oranına orantılı olarak değişiklikler. Eğer X Lorenz eğrisine sahip rastgele bir değişkendir L _X(F) ve anlamı μ _X, sonra herhangi bir sabit için c ≠ −μ _X, X + c aşağıdakilerle tanımlanan bir Lorenz eğrisine sahiptir:

${displaystyle F-L_ {X + c} (F) = {frac {mu _ {X}} {mu _ {X} + c}} (F-L_ {X} (F)),}$

Kümülatif dağılım işlevi için F(x) ortalama ile μ ve (genelleştirilmiş) ters x(F), sonra herhangi biri için F 0 F < 1 :

• Lorenz eğrisi türevlenebilir ise:

${displaystyle {frac {dL (F)} {dF}} = {frac {x (F)} {mu}}}$

• Lorenz eğrisi iki kez türevlenebilirse, olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) o noktada var ve:

${displaystyle {frac {d ^ {2} L (F)} {dF ^ {2}}} = {frac {1} {mu, f (x (F))}},}$

• Eğer L(F) sürekli türevlenebilir, sonra tanjantı L(F) noktasında mükemmel eşitlik çizgisine paraleldir F(μ). Bu aynı zamanda eşitlik uçurumunun F − L(F), Lorenz eğrisi ile mükemmel eşitlik çizgisi arasındaki dikey mesafe en büyüktür. Boşluğun boyutu göreceli yarıya eşittir ortalama mutlak sapma:

${displaystyle F (mu) -L (F (mu)) = {frac {ext {ortalama mutlak sapma}} {2, mu}}}$

Ayrıca bakınız

• Dağıtım (ekonomi)
• Servet dağılımı
• Refah ekonomisi
• Gelir eşitsizliği metrikleri
• Gini katsayısı
• Hoover indeksi (aka Robin Hood indeksi)
• ROC analizi
• Sosyal refah (siyaset bilimi)
• Ekonomik eşitsizlik
• Zipf yasası
• Pareto dağılımı
• Ortalama sapma

Referanslar

daha fazla okuma

• Lorenz, M.O. (1905). "Zenginlik yoğunluğunu ölçme yöntemleri". American Statistical Association Yayınları. American Statistical Association Yayınları, Cilt. 9, No. 70. 9 (70): 209–219. Bibcode:1905 PAmSA ... 9..209L. doi:10.2307/2276207. JSTOR  2276207.
• Gastwirth, Joseph L. (1972). "Lorenz Eğrisi ve Gini Endeksinin Tahmini". Ekonomi ve İstatistik İncelemesi. The Review of Economics and Statistics, Cilt. 54, No. 3. 54 (3): 306–316. doi:10.2307/1937992. JSTOR  1937992.
• Chakravarty, S.R. (1990). Etik Sosyal Endeks Numaraları. New York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-52274-3.
• Anand, Sudhir (1983). Malezya'da Eşitsizlik ve Yoksulluk. New York: Oxford University Press. ISBN  0-19-520153-1.

Dış bağlantılar

• WIID: Eşitsizlikle ilgili bir bilgi kaynağı olan Dünya Gelir Eşitsizliği Veritabanı, GENİŞ (Dünya Kalkınma Ekonomisi Araştırmaları Enstitüsü, Birleşmiş Milletler Üniversitesi'nin bir parçası)
• Glcurve: Stata Lorenz eğrisini çizecek modül (yüklemek için Stata komut istemine "findit glcurve" veya "ssc install glcurve" yazın)
• Eşitsizlik ve yoksulluk önlemlerini hesaplamak için STATA'ya ücretsiz eklenti
• Ücretsiz Çevrimiçi Yazılım (Hesap Makinesi) Gini Katsayısını hesaplar, Lorenz eğrisini çizer ve herhangi bir veri kümesi için diğer birçok konsantrasyon ölçüsünü hesaplar
• Ücretsiz Hesap Makinesi: İnternet üzerinden ve indirilebilir komut dosyaları (Python ve Lua ) Atkinson, Gini ve Hoover eşitsizlikleri için
• Kullanıcıları R veri analiz yazılımı, Gini, Atkinson, Theil dahil olmak üzere çeşitli eşitsizlik endekslerinin hesaplanmasına izin veren "ineq" paketini kurabilir.
• Bir MATLAB Eşitsizlik Paketi Gini, Atkinson, Theil indekslerini hesaplamak ve Lorenz Eğrisini çizmek için kod dahil. Birçok örnek mevcuttur.
• Bir eksiksiz bildiri Lorenz eğrisi hakkında çeşitli uygulamalar dahil olmak üzere Excel elektronik tablo Lorenz eğrilerinin grafiğinin çizilmesi ve Gini katsayılarının yanı sıra varyasyon katsayılarının hesaplanması.
• LORENZ 3.0 bir Mathematica Örnek Lorenz eğrilerini çizen ve hesaplayan defter Gini katsayıları ve Lorenz asimetri katsayıları Excel sayfasındaki verilerden.