Düzenli çarpık apirohedron - Regular skew apeirohedron - Wikipedia

İçinde geometri, bir düzenli çarpık apeirohedron sonsuzdur düzenli çarpık çokyüzlü, eğik normal yüzler veya eğri normal yüzlerle köşe figürleri.

Tarih

Göre Coxeter, 1926'da John Flinders Petrie kavramını genelleştirdi normal çarpık çokgenler (düzlemsel olmayan çokgenler) sonlu düzenli çarpık polihedra 4 boyutlu ve 3 boyutlu sonsuz düzenli asimetrik apeirohedra (burada açıklanmıştır).

Coxeter düzlemsel yüzler ve eğri olmak üzere 3 form tanımladı köşe figürleri ikisi birbirinin tamamlayıcısıdır. Hepsi değiştirilmiş bir Schläfli sembolü {l,m|n}, neredeler lköşeli yüzler, m ile her köşe etrafındaki yüzler delikler olarak tanımlandı n-genal eksik yüzler.

Coxeter değiştirilmiş bir Schläfli sembolü {l,m|n} bu rakamlar için {l,m} ima eden köşe figürü, m Bir tepe noktasının etrafındaki l-gons ve nköşeli delikler. Tepe rakamları çarpık çokgenler, iki uçak arasında zikzak çiziyor.

Düzenli çarpık çokyüzlüler, {l,m|n}, şu denklemi izleyin:

  • 2 günah (π/l) · günah(π/m) = cos (π/n)

Euclidean 3-uzayının düzenli çarpık apeirohedrası

3-uzayda üç Öklid çözümü {4,6 | 4}, {6,4 | 4} ve {6,6 | 3} 'dür. John Conway bunları sırasıyla çoklu küp, oktahedron ve tetrahedron için mukube, muoctahedron ve mutetrahedron olarak adlandırdı.[1]

  1. Mucube: {4,6|4}: 6 kareler tepe noktasında (ile ilgili kübik petek, kübik hücrelerden oluşturulmuş, her birinden iki zıt yüzü kaldırarak ve altılı kümeleri bir yüzsüz etrafında birbirine bağlayarak küp.)
  2. Muoktahedron: {6,4|4}: 4 altıgenler tepe noktasında (ile ilgili bitruncated kübik petek tarafından inşa edildi kesik oktahedron kare yüzleri çıkarılmış ve delik çiftlerini birbirine bağlayarak.)
  3. Mutetrahedron: {6,6 | 3}: Bir tepe üzerinde 6 altıgen ( çeyrek kübik petek tarafından inşa edildi kesik tetrahedron hücreler, üçgen yüzleri kaldırma ve dörtlü kümeleri yüzsüz olarak birbirine bağlama dörtyüzlü.)

Coxeter, bu normal çarpık apeirohedrayı {2q, 2r | p} verir genişletilmiş kiral simetri [[(p,q,p,r)]+] onun için izomorfik olduğunu söylediği soyut grup (2q,2r|2,p). İlgili bal peteği genişletilmiş simetriye sahiptir [[(p,q,p,r)]].[2]

Kompakt düzenli çarpık apeirohedra
Coxeter grubu
simetri
Apeirohedron
{p, q | l}
ResimYüz
{p}
Delik
{l}
Köşe
şekil
İlişkili
bal peteği
CDel branch.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes.png
[[4,3,4]]
[[4,3,4]+]
{4,6|4}
Mucube
Mucube.png
animasyon
Normal çokgen 4 annotated.svgNormal çokgen 4 annotated.svgRuncinated cubic honeycomb verf.pngCDel branch.pngCDel 4a4b.pngCDel düğümleri 11.png
t0,3{4,3,4}
Runcinated cubic honeycomb.png
{6,4|4}
Muoktahedron
Muoctahedron.png
animasyon
Normal çokgen 6 açıklamalı.svgBitruncated kübik petek verf2.pngCDel şube 11.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes.png
2t {4,3,4}
Bitruncated cubic honeycomb.png
CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
[[3[4]]]
[[3[4]]+]
{6,6|3}
Mutetrahedron
Mutetrahedron.png
animasyon
Normal çokgen 6 açıklamalı.svgNormal çokgen 3 açıklamalı.svgT01 çeyrek küp petek verf.pngCDel şube 11.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
q {4,3,4}
Çeyrek küp petek.png

Hiperbolik 3-uzayda düzenli çarpık apeirohedra

1967'de C.W.L. Garner, 31 hiperbolik çarpık apeirohedra tanımladı. normal eğri çokgen köşe figürleri, Öklid uzayından yukarıdaki 3'e benzer bir aramada bulundu.[3]

Bunlar, doğrusal ve döngüsel bir alt kümenin simetrisinden oluşturulmuş, hiperbolik uzayda 14 kompakt ve 17 parakompakt düzenli çarpık polihedrayı temsil eder. Coxeter grupları formun grafikleri [[(p,q,p,r)]], Bunlar düzenli çarpık polihedra {2q,2r|p} ve ikili {2r,2q|p}. Doğrusal grafik gruplarının özel durumu için r = 2, bu Coxeter grubunu temsil eder [p,q,p]. Düzenli çarpıklıklar oluşturur {2q,4|p} ve {4,2q|p}. Bunların tümü, sayfanın yüzlerinin bir alt kümesi olarak mevcuttur. hiperbolik uzayda dışbükey tek tip petekler.

Eğik apeirohedron aynı şeyi paylaşıyor antiprizma petek ile tepe figürü, ancak tepe figürünün sadece zikzak kenar yüzleri gerçekleştirilirken, diğer yüzler "delikler" açar.

14 Kompakt düzenli çarpık apeirohedra
Coxeter
grup
Apeirohedron
{p, q | l}
Yüz
{p}
Delik
{l}
Bal peteğiKöşe
şekil
Apeirohedron
{p, q | l}
Yüz
{p}
Delik
{l}
Bal peteğiKöşe
şekil
CDel label5.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.png
[3,5,3]
{10,4|3}Normal çokgen 10 açıklamalı.svgNormal çokgen 3 açıklamalı.svgCDel label5.pngCDel şube 11.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.png
2t {3,5,3}
Bitruncated icosahedral honeycomb verf.png{4,10|3}Normal çokgen 4 annotated.svgNormal çokgen 3 açıklamalı.svgCDel label5.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel düğümleri 11.png
t0,3{3,5,3}
Runcinated icosahedral honeycomb verf.png
CDel branch.pngCDel 5a5b.pngCDel nodes.png
[5,3,5]
{6,4|5}Normal çokgen 6 açıklamalı.svgNormal çokgen 5 açıklamalı.svgCDel şube 11.pngCDel 5a5b.pngCDel nodes.png
2t {5,3,5}
Bitruncated order-5 dodekahedral petek verf.png{4,6|5}Normal çokgen 4 annotated.svgNormal çokgen 5 açıklamalı.svgCDel branch.pngCDel 5a5b.pngCDel düğümleri 11.png
t0,3{5,3,5}
Runcinated order-5 onik yüzlü bal peteği verf.png
CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
[(4,3,3,3)]
{8,6|3}Normal çokgen 8 açıklamalı.svgNormal çokgen 3 açıklamalı.svgCDel label4.pngCDel şube 11.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
ct {(4,3,3,3)}
Üniforma t01 4333 petek verf.png{6,8|3}Normal çokgen 6 açıklamalı.svgNormal çokgen 3 açıklamalı.svgCDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel şube 11.png
ct {(3,3,4,3)}
Üniforma t23 4333 petek verf.png
CDel label5.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
[(5,3,3,3)]
{10,6|3}Normal çokgen 10 açıklamalı.svgNormal çokgen 3 açıklamalı.svgCDel label5.pngCDel şube 11.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
ct {(5,3,3,3)}
Üniforma t01 5333 petek verf.png{6,10|3}Normal çokgen 6 açıklamalı.svgNormal çokgen 3 açıklamalı.svgCDel label5.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel şube 11.png
ct {(3,3,5,3)}
Üniforma t23 5333 petek verf.png
CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label4.png
[(4,3,4,3)]
{8,8|3}Normal çokgen 8 açıklamalı.svgNormal çokgen 3 açıklamalı.svgCDel label4.pngCDel şube 11.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label4.png
ct {(4,3,4,3)}
Üniforma t01 4343 petek verf.png{6,6|4}Normal çokgen 6 açıklamalı.svgNormal çokgen 4 annotated.svgCDel label4.pngCDel şubesi 10r.pngCDel 3ab.pngCDel şubesi 10l.pngCDel label4.png
ct {(3,4,3,4)}
Üniforma t12 4343 petek verf.png
CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label5.png
[(5,3,4,3)]
{8,10|3}Normal çokgen 8 açıklamalı.svgNormal çokgen 3 açıklamalı.svgCDel label4.pngCDel şube 11.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label5.png
ct {(4,3,5,3)}
Üniforma t01 5343 petek verf.png{10,8|3}Normal çokgen 10 açıklamalı.svgNormal çokgen 3 açıklamalı.svgCDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel şube 11.pngCDel label5.png
ct {(5,3,4,3)}
Üniforma t12 5343 petek verf.png
CDel label5.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label5.png
[(5,3,5,3)]
{10,10|3}Normal çokgen 10 açıklamalı.svgNormal çokgen 3 açıklamalı.svgCDel label5.pngCDel şube 11.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label5.png
ct {(5,3,5,3)}
Üniforma t01 5353 petek verf.png{6,6|5}Normal çokgen 6 açıklamalı.svgNormal çokgen 5 açıklamalı.svgCDel label5.pngCDel şubesi 10r.pngCDel 3ab.pngCDel şubesi 10l.pngCDel label5.png
ct {(3,5,3,5)}
Üniforma t12 5353 petek verf.png
17 Paracompact düzenli çarpık apeirohedra
Coxeter
grup
Apeirohedron
{p, q | l}
Yüz
{p}
Delik
{l}
Bal peteğiKöşe
şekil
Apeirohedron
{p, q | l}
Yüz
{p}
Delik
{l}
Bal peteğiKöşe
şekil
CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes.png
[4,4,4]
{8,4|4}Normal çokgen 8 açıklamalı.svgNormal çokgen 4 annotated.svgCDel label4.pngCDel şube 11.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes.png
2t {4,4,4}
Bitruncated order-4 kare döşeme petek verf.png{4,8|4}Normal çokgen 4 annotated.svgNormal çokgen 4 annotated.svgCDel label4.pngCDel branch.pngCDel 4a4b.pngCDel düğümleri 11.png
t0,3{4,4,4}
Runcinated order-4 kare döşeme petek verf.png
CDel label6.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.png
[3,6,3]
{12,4|3}Normal çokgen 12 açıklamalı.svgNormal çokgen 3 açıklamalı.svgCDel label6.pngCDel şube 11.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.png
2t {3,6,3}
Bitruncated üçgen döşeme petek verf.png{4,12|3}Normal çokgen 4 annotated.svgNormal çokgen 3 açıklamalı.svgCDel label6.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel düğümleri 11.png
t0,3{3,6,3}
Runcinated üçgen döşeme petek verf.png
CDel branch.pngCDel 6a6b.pngCDel nodes.png
[6,3,6]
{6,4|6}Normal çokgen 6 açıklamalı.svgNormal çokgen 6 açıklamalı.svgCDel şube 11.pngCDel 6a6b.pngCDel nodes.png
2t {6,3,6}
Order-3 altıgen döşeme petek verf.png{4,6|6}Normal çokgen 4 annotated.svgNormal çokgen 6 açıklamalı.svgCDel branch.pngCDel 6a6b.pngCDel düğümleri 11.png
t0,3{6,3,6}
Runcinated order-6 altıgen döşeme petek verf.png
CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 4a4b.pngCDel branch.png
[(4,4,4,3)]
{8,6|4}Normal çokgen 8 açıklamalı.svgNormal çokgen 4 annotated.svgCDel label4.pngCDel şube 11.pngCDel 4a4b.pngCDel branch.png
ct {(4,4,3,4)}
Üniforma t01 4443 petek verf.png{6,8|4}Normal çokgen 6 açıklamalı.svgNormal çokgen 4 annotated.svgCDel label4.pngCDel branch.pngCDel 4a4b.pngCDel şube 11.png
ct {(3,4,4,4)}
Üniforma t12 4443 petek verf.png
CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 4a4b.pngCDel branch.pngCDel label4.png
[(4,4,4,4)]
{8,8|4}Normal çokgen 8 açıklamalı.svgNormal çokgen 4 annotated.svgCDel label4.pngCDel şube 11.pngCDel 4a4b.pngCDel branch.pngCDel label4.png
q {4,4,4}
Paracompact bal peteği 4444 1100 verf.png
CDel label6.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel 2.png
[(6,3,3,3)]
{12,6|3}Normal çokgen 12 açıklamalı.svgNormal çokgen 3 açıklamalı.svgCDel label6.pngCDel şube 11.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
ct {(6,3,3,3)}
Üniforma t01 6333 petek verf.png{6,12|3}Normal çokgen 6 açıklamalı.svgNormal çokgen 3 açıklamalı.svgCDel label6.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel şube 11.png
ct {(3,3,6,3)}
Üniforma t12 6333 petek verf.png
CDel label6.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label4.png
[(6,3,4,3)]
{12,8|3}Normal çokgen 12 açıklamalı.svgNormal çokgen 3 açıklamalı.svgCDel label6.pngCDel şube 11.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label4.png
ct {(6,3,4,3)}
Üniforma t01 6343 petek verf.png{8,12|3}Normal çokgen 8 açıklamalı.svgNormal çokgen 3 açıklamalı.svgCDel label6.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel şube 11.pngCDel label4.png
ct {(4,3,6,3)}
Üniforma t12 6333 petek verf.png
CDel label6.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label5.png
[(6,3,5,3)]
{12,10|3}Normal çokgen 12 açıklamalı.svgNormal çokgen 3 açıklamalı.svgCDel label6.pngCDel şube 11.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label5.png
ct {(6,3,5,3)}
Üniforma t01 6353 petek verf.png{10,12|3}Normal çokgen 10 açıklamalı.svgNormal çokgen 3 açıklamalı.svgCDel label6.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel şube 11.pngCDel label5.png
ct {(5,3,6,3)}
Üniforma t12 6353 petek verf.png
CDel label6.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label6.png
[(6,3,6,3)]
{12,12|3}Normal çokgen 12 açıklamalı.svgNormal çokgen 3 açıklamalı.svgCDel label6.pngCDel şube 11.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label6.png
ct {(6,3,6,3)}
Üniforma t01 6363 petek verf.png{6,6|6}Normal çokgen 6 açıklamalı.svgNormal çokgen 6 açıklamalı.svgCDel label6.pngCDel şubesi 10r.pngCDel 3ab.pngCDel şubesi 10l.pngCDel label6.png
ct {(3,6,3,6)}
Üniforma t12 6363 petek verf.png

Ayrıca bakınız

Referanslar

  1. ^ The Symmetry of Things, 2008, Bölüm 23 Birincil Simetriye Sahip Nesneler, Sonsuz Platonik Polyhedra, s. 333–335
  2. ^ Coxeter, Normal ve Yarı Düzenli Politoplar II 2.34)
  3. ^ Garner, C.W.L. Hiperbolik Üç Uzayda Düzenli Eğik Polihedra. Yapabilmek. J. Math. 19, 1179–1186, 1967. [1] Not: Makalesinde 32 tane var, ancak biri kendi kendine çiftli, geriye 31.
  • Petrie – Coxeter Haritaları Yeniden Ziyaret Edildi PDF, Isabel Hubard, Egon Schulte, Asia Ivic Weiss, 2005
  • John H. Conway Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Nesnelerin Simetrileri 2008, ISBN  978-1-56881-220-5,
  • Peter McMullen, Dört Boyutlu Normal Çokyüzlüler, Discrete & Computational Geometry Eylül 2007, Cilt 38, Sayı 2, s. 355–387
  • Coxeter, Normal Politoplar, Üçüncü baskı, (1973), Dover baskısı, ISBN  0-486-61480-8
  • Kaleidoscopes: H.S.M.'nin Seçilmiş Yazıları CoxeterF. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995 tarafından düzenlenmiştir. ISBN  978-0-471-01003-6 [2]
    • (Kağıt 2) H.S.M. Coxeter, "Normal Süngerler veya Çarpık Polihedra", Scripta Mathematica 6 (1939) 240–244.
    • (Kağıt 22) H.S.M. Coxeter, Normal ve Yarı Düzenli Politoplar I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
    • (Kağıt 23) H.S.M. Coxeter, Normal ve Yarı Düzenli Politoplar II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  • Coxeter, Geometrinin Güzelliği: On İki DenemeDover Yayınları, 1999, ISBN  0-486-40919-8 (Bölüm 5: Üç ve dört boyutta Düzenli Eğik Polihedra ve bunların topolojik analogları, Londra Matematik Derneği Proceedings of the London Mathematics Society, Ser. 2, Cilt 43, 1937.)
    • Coxeter, H. S. M. Üç ve Dört Boyutta Düzenli Eğik Çokyüzlüler. Proc. London Math. Soc. 43, 33–62, 1937.