Selfridge – Conway prosedürü - Selfridge–Conway procedure

Selfridge – Conway prosedürü ayrı bir prosedürdür ve kıskanç kek kesme üç ortak için.[1]:13–14 Adını almıştır John Selfridge ve John Horton Conway. Selfridge bunu 1960 yılında keşfetti ve Richard Guy, bunu birçok kişiye anlatan ama Selfridge yayınlamadı. John Conway daha sonra bağımsız olarak keşfetti ve asla yayınlamadı.[2] Bu prosedür, üç ortak için tasarlanan ilk gıpta içermeyen ayrı prosedürdü ve daha gelişmiş prosedürlerin yolunu açtı. n ortaklar (bakınız kıskanç kek kesme ).

Her alıcı (ölçüsüne göre) başka hiçbir alıcının sahip olduğundan daha fazlasını almadığına inanıyorsa, prosedür kıskançtır. Çözümlerinde, prosedürdeki maksimum kesim sayısı beştir. Parçalar her zaman bitişik değildir.

Prosedür

Selfridge-Conway bölümü

Üç oyuncumuz olduğunu varsayalım P1, P2 ve P3. Prosedürün bir karar için bir kriter verdiği durumlarda, kriterin oyuncu için optimum bir seçim verdiği anlamına gelir.

  1. P1 pastayı eşit büyüklükte olduğunu düşündüğü üç parçaya böler.
  2. Hadi arayalım Bir göre en büyük parça P2.
  3. P2 biraz keser Bir ikinci en büyük ile aynı boyutta yapmak için. Şimdi Bir bölünür: kesilmiş parça A1 ve süslemeler A2. Süslemeleri bırakın A2 Şimdilik yana.
    • Eğer P2 en büyük iki parçanın eşit olduğunu düşünürse (böylelikle kırpmaya gerek yoktur), sonra her oyuncu şu sırayla bir bölüm seçer: P3, P2 ve sonunda P1.
  4. P3 arasından bir parça seçer A1 ve diğer iki parça.
  5. P2 sınırlaması olan bir parça seçer, eğer P3 seçmedim A1, P2 onu seçmeli.
  6. P1 sadece kırpıntıları bırakarak son parçayı seçer A2 bölünmek.

Süslemeleri bölmeye devam ediyor A2. Kesilmiş parça A1 biri tarafından seçildi P2 veya P3; hadi onu seçen oyuncuyu arayalım PA ve diğer oyuncu PB.

  1. PB Kesikler A2 üç eşit parçaya bölünür.
  2. PA bir parça seçer A2 - adını verdik A21.
  3. P1 bir parça seçer A2 - adını verdik A22.
  4. PB kalan son parçayı seçer A2 - adını verdik A23.

Analiz

Bakalım prosedür neden kıskanç. Her oyuncunun, başka hiçbir oyuncunun sahip olduğundan daha fazlasını almadığına inandığı gösterilmelidir. Genelliği kaybetmeden yazabiliriz (yukarıdaki resme bakın):

  • PA Alınan: A1 + A21.
  • PB Alınan: B + A23.
  • P1 Alınan: C + A22.

Aşağıdaki analizde "en büyük", "oyuncuya göre en büyük" anlamına gelir:

  • PA Alınan A1 + A21. Onun için, A1 ≥ B ve A1 ≥ C. Ve seçimini düşünüyor A21 en büyük parçası olmak A2. Yani hiçbir oyuncu ondan fazlasını alamadı: A1 + A21  ≥  B + A23, C + A22.
  • PB Alınan B + A23. Onun için, B ≥ A1 ve B ≥ C o seçtiğinden beri B. Ayrıca o kesen A2 3 parça halinde, yani onun için tüm bu parçalar eşittir.
  • P1 Alınan C + A22. Onun için, C ≥ A1 ve C = B.
    • P1 inanıyor ki PB ondan daha fazlasını almadı. Diğer bir deyişle: C + A22  ≥ B + A23. Bunu hatırla P1 parçasını seçti A2 önce PB, Böylece A22  ≥ A23 ona göre.
    • P1 inanıyor ki PA sahip olduğundan daha fazlasını almadı. Diğer bir deyişle: C + A22  ≥ A1 + A21. Hatırla P1, C eşittir Bir pastayı ilk turda kestiğinden beri. Ayrıca, Bir = A1 + A2 = A1 + (A21 + A22 + A23); bu nedenle C  ≥ A1 + A21. (Bile PA hepsini aldı A2 ve P1 almadı A22, P1 kıskanmaz PA.)

Genellemeler

Unutmayın ki tüm istediğimiz kıskançlıktan uzak bir bölüm ise bir kısım pastanın (yani izin veriyoruz) ücretsiz elden çıkarma ), ardından Selfridge-Conway prosedürünün yalnızca ilk bölümünü kullanmamız gerekir, yani:

  • P1 pastayı kendisine eşit üç parçaya böler;
  • P2 ona eşit iki parça olacak şekilde en fazla tek parça keser;
  • P3 bir parça alır o zaman P2, sonra P1.

Bu, kıskançlığın olmadığını garanti eder ve ek olarak her ortak toplamın en az 1 / 4'ü kadar bir değer alır (toplam parça sayısı 4 olduğundan).

Bu prosedür aşağıdaki şekilde 4 ortağa genellenebilir:[3]

  • P1 pastayı böler 5 onun için eşit parçalar;
  • P2 en çok düzeltir 2 parçalar, öyle ki şimdi var 3 onun için eşit parçalar;
  • P3 en çok düzeltir 1 parça, öyle ki 2 onun için eşit parçalar;
  • P4 bir parça alır o zaman P3, sonra P2, sonra P1.

Bu, kıskançlığın olmadığını garanti eder ve ayrıca her ortak toplamın en az 1 / 8'i kadar bir değer alır (toplam parça sayısı 8 olduğundan).

Tümevarım yoluyla. prosedür genelleştirilebilir n ortaklar, pastayı bölen ilk kişi eşit parçalar ve diğer ortaklar kırparak takip eder. Ortaya çıkan bölüm kıskançtır ve her ortak en az bir değer alır toplamın.

Kalanlara da aynı prosedürü uygulayabiliriz. Bunu sonsuz sayıda yaparak, kıskançlıktan uzak bir bölüm elde ederiz. tüm kek.[4] Bu sonsuz prosedürün iyileştirilmesi, sonlu kıskançlık içermeyen bir bölme prosedürü sağlar - Brams-Taylor prosedürü.

Referanslar

  1. ^ Robertson, Jack; Webb, William (1998). Pasta Kesme Algoritmaları: Yapabiliyorsanız Adil Olun. Natick, Massachusetts: A. K. Peters. ISBN  978-1-56881-076-8. LCCN  97041258. OL  2730675W.
  2. ^ Brams, Steven J .; Taylor, Alan D. (1996). Fuar Bölümü [Pasta kesmekten anlaşmazlık çözümüne]. s. 116–120. ISBN  0521556449.
  3. ^ Brams, Steven J .; Taylor, Alan D. (1996). Fuar Bölümü [Pasta kesmekten anlaşmazlık çözümüne]. s. 131–137. ISBN  0521556449.
  4. ^ Brams, Steven J .; Taylor, Alan D. (1996). Fuar Bölümü [Pasta kesmekten anlaşmazlık çözümüne]. s. 137. ISBN  0521556449.