Süperelliptik eğri - Superelliptic curve - Wikipedia

Matematikte bir süper eliptik eğri bir cebirsel eğri formun bir denklemi ile tanımlanır

nerede bir tamsayıdır ve f bir polinom derece bir alandaki katsayılarla ; daha doğrusu, pürüzsüz projektif eğri kimin fonksiyon alanı[netleştirme gerekli ] bu denklem ile tanımlanır. durum ve bir eliptik eğri, dava ve bir hiperelliptik eğri ve dava ve bir örnektir trigonal eğri.

Bazı yazarlar, örneğin, tamsayının ile bölünemez karakteristik nın-nin , polinom olmalı karesiz, tam sayılar m ve d olmalı coprime veya bunların bir kombinasyonu.[1]

Diyofant sorunu süperelliptik bir eğri üzerinde tamsayı noktalarının bulunması, hiperelliptik denklemlerin çözümü için kullanılana benzer bir yöntemle çözülebilir: Siegel kimliği küçültmek için kullanılır Thue denklemi.

Tanım

Daha genel olarak, bir süper eliptik eğri döngüsel dallı örtü

projektif derece çizgisinin tanım alanının karakteristiğine eş prime. Derece Kaplama haritasının, eğrinin derecesi olarak da anılır. Tarafından döngüsel kaplama demek istiyoruz ki Galois grubu kaplamanın (yani karşılık gelen fonksiyon alanı uzantısı) döngüsel.

Temel teoremi Kummer teorisi ima eder[kaynak belirtilmeli ] süperelliptik derece eğrisi bir alan üzerinde tanımlanmış bir denklem tarafından verilen afin bir modele sahiptir

bazı polinomlar için derece her kök sıralı şartıyla üzerinde tanımlanan bir noktası var yani set ise nın-nin rasyonel noktalar boş değil. Örneğin, bu her zaman böyledir dır-dir cebirsel olarak kapalı. Özellikle, işlev alanı uzantısı bir Kummer uzantısı.

Dallanma

İzin Vermek cebirsel olarak kapalı bir alan üzerinde tanımlanan süper eliptik bir eğri olabilir , ve kök dizisini belirtmek içinde . Seti tanımla

Sonra kaplama haritasının dallanma noktaları kümesidir veren .

Afin bir dallanma noktası için , İzin Vermek sırasını belirtmek kökü olarak . Daha önce olduğu gibi, bunu varsayıyoruz . Sonra

dallanma endeksi her birinde dallanma noktaları eğrinin üzerinde yatan (bu aslında herhangi biri için doğrudur ).

Sonsuzluktaki nokta için tamsayı tanımlayın aşağıdaki gibi. Eğer

sonra . Bunu not et . Sonra diğer dallanma noktalarına benzer şekilde,

dallanma endeksi -de puan yalan söylemek . Özellikle, eğri sonsuzluğun üzerinde çerçevesizdir ancak ve ancak derecesi böler .

Eğri yukarıda tanımlandığı gibi tam olarak ne zaman bağlanır ve göreceli olarak asaldırlar (ikili olması gerekmez), ki durumun böyle olduğu varsayılır.

Cins

Tarafından Riemann-Hurwitz formülü, bir süperelliptik eğrinin cinsi,

Ayrıca bakınız

Referanslar

  1. ^ Galbraith, S.D .; Paulhus, S.M .; Akıllı, N.P. (2002). "Süper eliptik eğrilerde aritmetik". Hesaplamanın Matematiği. 71: 394–405. doi:10.1090 / S0025-5718-00-01297-7. BAY  1863009.