Süper kadrolar - Superquadrics

Bazı süper kadrolar.

İçinde matematik, Süper kadrolar veya süper dörtlü (Ayrıca süper kadrolar) bir ailedir geometrik şekiller benzer formüllerle tanımlanmıştır elipsoidler ve diğeri dörtlü bunun dışında kare alma operasyonlar keyfi yetkilerle değiştirilir. Üç boyutlu akraba olarak görülebilirler. süper elliler. Terim, katı nesneye veya onun yüzey bağlama bağlı olarak. Aşağıdaki denklemler yüzeyi belirtir; katı, eşitlik işaretleri küçük veya eşittir işaretleriyle değiştirilerek belirtilir.

Süper kuadrikler, benzer birçok şekil içerir. küpler, oktahedra, silindirler, pastiller ve iğ, yuvarlak veya keskin köşeli. Esneklikleri ve göreceli basitlikleri nedeniyle popülerdirler geometrik modelleme araçlar, özellikle bilgisayar grafikleri.

Gibi bazı yazarlar Alan Barr, "süperquadrics" i hem süperellipsoidler ve süpertoroidler.^[1][2] Ancak, (uygun) süpertoroidler yukarıda tanımlandığı gibi süper kadrolar değildir; ve bazı süperelipsoidler süperelipsoidler iken, hiçbir aile diğerinde yer almaz. süperquadriklerin geometrik özelliklerinin kapsamlı kapsamı ve bunların geri kazanım yöntemi aralık görüntüleri bir monografla kaplıdır ^[3].

Formüller

Örtük denklem

Temel süper kuadriğin yüzeyi şu şekilde verilir:

${ displaystyle sol | x sağ | ^ {r} + sol | y sağ | ^ {s} + sol | z sağ | ^ {t} = 1}$

nerede r, s, ve t süper kuadriğin temel özelliklerini belirleyen pozitif gerçek sayılardır. Yani:

• 1'den küçük: sivri bir oktahedron, içbükey yüzler ve keskin kenarlar.
• tam olarak 1: normal sekiz yüzlü.
• 1 ile 2 arasında: dışbükey yüzlere, kör kenarlara ve kör köşelere sahip olacak şekilde modifiye edilmiş bir oktahedron.
• tam olarak 2: bir küre
• 2'den büyük: yuvarlatılmış kenarlara ve köşelere sahip olacak şekilde değiştirilmiş bir küp.
• sonsuz (içinde limit ): bir küp

Her üs, birleşik şekiller elde etmek için bağımsız olarak değiştirilebilir. Örneğin, eğer r=s= 2 ve t= 4, yuvarlak kesite sahip ancak düzleştirilmiş uçları olan bir elipsoide benzeyen bir dönme katısı elde edilir. Bu formül, süperelipsoidin formülünün özel bir halidir, eğer (ve sadece eğer) r = s.

Herhangi bir üssün negatif olmasına izin verilirse, şekil sonsuza uzanır. Bu tür şekiller bazen denir süper hiperboloidler.

Yukarıdaki temel şekil, her koordinat ekseni boyunca -1'den + 1'e kadar uzanır. Genel süper kuadrik şunun sonucudur: ölçekleme bu temel şekil farklı miktarlarda Bir, B, C her eksen boyunca. Genel denklemi

${ displaystyle sol | { frac {x} {A}} sağ | ^ {r} + sol | { frac {y} {B}} sağ | ^ {s} + sol | { frac {z} {C}} sağ | ^ {t} = 1.}$

Parametrik açıklama

Yüzey parametreleri açısından parametrik denklemler sen ve v (m 2'ye eşitse boylam ve enleme eşdeğerdir)

${ displaystyle { begin {align} x (u, v) & {} = Ag left (v, { frac {2} {r}} sağ) g sol (u, { frac {2} {r}} right) y (u, v) & {} = Bg left (v, { frac {2} {s}} right) f left (u, { frac {2} {s}} right) z (u, v) & {} = Cf left (v, { frac {2} {t}} right) & - { frac { pi} { 2}} leq v leq { frac { pi} {2}}, quad - pi leq u < pi, end {hizalı}}}$

yardımcı fonksiyonlar nerede

${ displaystyle { başlar {hizalı} f ( omega, m) & {} = operatöradı {sgn} ( sin omega) | sin omega | ^ {m} g ( omega, m) & {} = operatöradı {sgn} ( cos omega) | cos omega | ^ {m} end {hizalı}}}$

ve işaret fonksiyonu sgn (x) dır-dir

${ displaystyle operatorname {sgn} (x) = { begin {case} -1, & x <0 0, & x = 0 + 1, & x> 0. end {case}}}$

Çizim kodu

Aşağıdaki GNU Oktav kod, bir süper kuadrik için bir örgü yaklaşımı üretir:

 işleviretval=süper dörtlü(epsilon, bir)n=50;  etamax=pi/2;  etamin=-pi/2;  wmax=pi;  wmin=-pi;  deta=(etamax-etamin)/n;  dw=(wmax-wmin)/n;  [ben,j] = örgü ızgara(1:n+1,1:n+1)  eta = etamin + (ben-1) * deta;  w  = wmin + (j-1) * dw;  x = a(1) .* işaret(çünkü(eta)) .* abs(çünkü(eta)).^epsilon(1) .* işaret(çünkü(w)) .* abs(çünkü(w)).^epsilon(1);  y = a(2) .* işaret(çünkü(eta)) .* abs(çünkü(eta)).^epsilon(2) .* işaret(günah(w)) .* abs(günah(w)).^epsilon(2);  z = a(3) .* işaret(günah(eta)) .* abs(günah(eta)).^epsilon(3);  örgü(x,y,z);  son işlev;

Referanslar

Ayrıca bakınız

• Süperegg

Dış bağlantılar

• Kaynakça: SuperQuadric Temsilleri
• Süperkadrik Tensör Glifleri
• SuperQuadric Elipsoidler ve Toroidler, OpenGL Aydınlatma ve Zamanlama
• Süper kadrolar Robert Kragler tarafından, Wolfram Gösteriler Projesi.
• Python'da Süperkadrikler