Totolojik demet - Tautological bundle

İçinde matematik, totolojik paket bir vektör paketi bir Grassmanniyen doğal totolojik bir şekilde: demetin bir vektör uzayı üzerindeki elyafı V (Grassmannian'da bir nokta) V kendisi. Bu durumuda projektif uzay totolojik demet, totolojik hat demeti.

Totolojik demet aynı zamanda evrensel paket çünkü herhangi bir vektör demeti (kompakt bir uzay^[1]) totolojik demetin geri çekilmesidir; bu Grassmannian'ın bir alanı sınıflandırmak vektör demetleri için. Bu nedenle, totolojik demet, çalışmalarda önemlidir. karakteristik sınıflar.

Totolojik demetler hem cebirsel topolojide hem de cebirsel geometride oluşturulur. Cebirsel geometride, totolojik çizgi demeti (as ters çevrilebilir demet ) dır-dir

${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {n}} (- 1)}$,

çift of hiper düzlem paketi veya Serre'nin bükülen demeti ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {n}} (1)}$. Hiper düzlem demeti, hiper düzleme karşılık gelen çizgi demetidir (bölen ) P^n-1 içinde Pⁿ. Totolojik hat demeti ve hiper düzlem demeti, tam olarak iki jeneratördür. Picard grubu projektif alanın.^[2]

İçinde Michael Atiyah "K-teorisi", totolojik çizgi demeti karmaşık projektif uzay denir standart hat paketi. Standart demetin küre demetine genellikle Hopf paketi. (cf. Bott jeneratörü.)

Daha genel olarak, bir üzerinde totolojik demetler de vardır. projektif demet bir vektör demetinin yanı sıra Grassmann paketi.

Eski terim kanonik paket şu gerekçeyle gözden düştü: kanonik matematiksel terminolojide olduğu gibi ağır bir şekilde aşırı yüklenmiş ve (daha kötüsü) kanonik sınıf içinde cebirsel geometri zorlukla önlenebilirdi.

Sezgisel tanım

Grassmannians tanımı gereği parametre uzaylarıdır. doğrusal alt uzaylar, belirli bir boyutta vektör alanı W. Eğer G Grassmannian ve V_g alt uzayı W karşılık gelen g içinde G, bu zaten bir vektör demeti için gerekli olan veridir: yani her nokta için bir vektör uzayı g, sürekli değişen. Bu endikasyondan totolojik demet tanımını durdurabilecek tek şey, V_g kesişecek. Bunu düzeltmek, rutin bir uygulamadır. ayrık birlik cihaz, böylece demet projeksiyonu bir toplam alan özdeş kopyalarından oluşur V_g, artık kesişmiyor. Bununla birlikte paketimiz var.

Projektif uzay durumu dahildir. Kongre ve kullanım ile P(V) totolojik demeti yararlı bir şekilde ikili boşluk anlamda. Yani V^* ikili uzay, noktaları P(V) vektör alt uzaylarını taşımak V^* (ışınları) olarak düşünüldüğünde onların çekirdekleri olan doğrusal işlevler açık V^*. Eğer V boyut var n + 1, totolojik hat demeti bir totolojik pakettir ve az önce açıklanan diğeri rütbedir n.

Resmi tanımlama

İzin Vermek G_n(R^n+k) ol Grassmanniyen nın-nin nboyutsal vektör alt uzayları R^n+k; bir set olarak bu hepsinin setidir nboyutlu vektör alt uzayları R^n+k. Örneğin, eğer n = 1, gerçek yansıtmadır k-Uzay.

Totolojik demeti tanımlıyoruz γ_{n, k} bitmiş G_n(R^n+k) aşağıdaki gibi. Paketin toplam alanı, tüm çiftlerin kümesidir (V, v) bir noktadan oluşur V Grassmannian ve bir vektör v içinde V; Kartezyen çarpımının altuzay topolojisi verilir G_n(R^n+k) × R^n+k. İzdüşüm haritası π, π (V, v) = V. Eğer F ön görüntüsüdür V π altında bir vektör uzayı yapısı verilir. a(V, v) + b(V, w) = (V, av + bw). Son olarak, bir nokta verildiğinde yerel önemsizliği görmek için X Grassmannian'da U hepsinin seti ol V öyle ki ortogonal projeksiyon p üstüne X haritalar V izomorfik olarak X,^[3] ve sonra tanımla

${ displaystyle phi: pi ^ {- 1} (U) ile G_ {n} ( mathbb {R} ^ {n + k}) kere X}$

tarafından ${ displaystyle phi}$(V, v) = (V, p(v)), açıkça bir homeomorfizmdir. Bu nedenle, sonuç bir vektör rütbe kümesidir n.

Alanı değiştirirsek yukarıdaki tanım anlamlı olmaya devam eder. R tarafından karmaşık alan C.

Tanım gereği, sonsuz Grassmannian G_n ... direkt limit nın-nin G_n(R^n+k) gibi k → ∞. Paketlerin doğrudan limitini almak γ_{n, k} totolojik demeti verir γ_n nın-nin G_n. Şu anlamda evrensel bir pakettir: her kompakt alan için Xdoğal bir bijeksiyon var

${ displaystyle [X, G_ {n}] to operatorname {Vect} _ {n} ^ { mathbb {R}} (X), , f mapsto f ^ {*} ( gamma _ {n })}$

solda köşeli ayraç homotopi sınıfı anlamına gelir ve sağda gerçek vektör rütbe demetlerinin izomorfizm sınıfları kümesi n. (Ters harita şu şekilde verilmiştir: X kompakttır, herhangi bir vektör paketi E önemsiz bir paketin alt grubudur: ${ displaystyle E hookrightarrow X times mathbb {R} ^ {n + k}}$ bazı k ve bu yüzden E bir harita belirler ${ displaystyle f_ {E} iki nokta üst üste X ila G_ {n}, , x mapsto E_ {x}}$homotopiye kadar benzersiz.)

Açıklama: Sırayla, totolojik bir demet evrensel bir demet olarak tanımlanabilir; doğal bir bijeksiyon olduğunu varsayalım

${ displaystyle [X, G_ {n}] = operatöradı {Vect} _ {n} ^ { mathbb {R}} (X)}$

herhangi parakompakt uzay X. Dan beri G_n kompakt uzayların doğrudan sınırıdır, parakompakttır ve bu nedenle üzerinde benzersiz bir vektör demeti vardır G_n üzerindeki kimlik haritasına karşılık gelen G_n. Bu tam olarak totolojik demettir ve kısıtlama ile kişi her şeyin üzerine totolojik demetleri alır. G_n(R^n+k).

Hiper düzlem paketi

hiper düzlem paketi H gerçek bir projektifte k-space aşağıdaki gibi tanımlanır. Toplam alanı H tüm çiftlerin kümesidir (L, f) bir çizgiden oluşur L köken yoluyla R^{k + 1} ve f doğrusal bir işlevsel L. İzdüşüm haritası π, π ile verilir (L, f) = L (böylece lif bitti L çift ​​vektör uzayı LGeri kalanı tam olarak totolojik çizgi demeti gibidir.

Diğer bir deyişle, H ... ikili paket totolojik çizgi demetinin.

Cebirsel geometride, hiper düzlem demeti, çizgi demetidir ( ters çevrilebilir demet ) karşılık gelen hiper düzlem bölen

${ displaystyle H = mathbb {P} ^ {n-1} alt küme mathbb {P} ^ {n}}$

diyelim ki x₀ = 0, ne zaman x_ben'ler homojen koordinatlar. Bu aşağıdaki gibi görülebilir. Eğer D bir (Weil) bölen açık X = Pⁿbiri karşılık gelen satır demetini tanımlar Ö(D) üzerinde X tarafından

${ displaystyle Gama (U, O (D)) = {f K içinde | (f) + D geq 0 { text {on}} U }}$

nerede K rasyonel işlevler alanıdır X. Alma D olmak H, sahibiz:

${ displaystyle O (H) simeq O (1), f mapsto fx_ {0}}$

nerede x₀ her zamanki gibi bükme demetinin küresel bir bölümü olarak görülüyor Ö(1). (Aslında, yukarıdaki izomorfizm, Weil bölenleri ile Cartier bölenleri arasındaki olağan yazışmanın bir parçasıdır.) Son olarak, bükülen demetin çifti, totolojik çizgi demetine karşılık gelir (aşağıya bakınız).

Cebirsel geometride totolojik çizgi demeti

Cebirsel geometride, bu kavram herhangi bir alanda mevcuttur. k. Somut tanım aşağıdaki gibidir. İzin Vermek ${ displaystyle A = k [y_ {0}, noktalar, y_ {n}]}$ ve ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n} = operatöradı {Proj} A}$. Sahip olduğumuza dikkat edin:

${ displaystyle mathbf {Spec} ({ mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {n}} [x_ {0}, dots, x_ {n}]) = mathbb {A} _ { mathbb {P} ^ {n}} ^ {n + 1} = mathbb {A} ^ {n + 1} times _ {k} { mathbb {P} ^ {n}}}$

nerede Teknik Özellikler dır-dir göreli Spec. Şimdi şunu koyun:

${ displaystyle L = mathbf {Özel} ({ mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {n}} [x_ {0}, dots, x_ {n}] / I)}$

nerede ben küresel bölümler tarafından üretilen ideal demet ${ displaystyle x_ {i} y_ {j} -x_ {j} y_ {i}}$. Sonra L kapalı bir alt şemasıdır ${ displaystyle mathbb {A} _ { mathbb {P} ^ {n}} ^ {n + 1}}$ aynı temel şema üzerinde ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$; dahası, kapalı noktalar L tam olarak bunlar (x, y) nın-nin ${ displaystyle mathbb {A} ^ {n + 1} times _ {k} { mathbb {P} ^ {n}}}$ öyle ki x sıfır veya görüntüsü x içinde ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ dır-dir y. Böylece, L daha önce tanımlandığı gibi totolojik hat demetidir k gerçek veya karmaşık sayıların alanıdır.

Daha kısa bir ifadeyle, L ... patlamak afin boşluğun kökeni ${ displaystyle mathbb {A} ^ {n + 1}}$yer nerede x = 0 inç L ... istisnai bölen. (cf. Hartshorne, Ch. I, § 4'ün sonu)

Genel olarak, ${ displaystyle mathbf {Spec} ( operatorname {Sym} { check {E}})}$ ... cebirsel vektör demeti yerel olarak serbest bir demete karşılık gelen E sonlu dereceli.^[4] Kesin sıraya sahip olduğumuz için:

${ displaystyle 0 - I - { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {n}} [x_ {0}, noktalar, x_ {n}] { taşma {x_ {i} mapsto y_ {i}} { to}} operatorname {Sym} { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {n}} (1) to 0,}$

totolojik hat demeti L, yukarıda tanımlandığı gibi, ikili ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {n}} (- 1)}$ nın-nin Serre'nin bükülen demeti. Pratikte her iki kavram (totolojik çizgi demeti ve bükme demetinin ikilisi) birbirinin yerine kullanılır.

Bir alan üzerinde, çift hat demeti, alanla ilişkili hat demetidir. hiper düzlem bölen H, genel bölümleri kimin doğrusal formlar. Onun Chern sınıfı -H. Bu bir anti-geniş hat demeti. Bitmiş C, bunun negatif bir çizgi demeti olduğunu söylemekle eşdeğerdir, yani Chern sınıfı eksi standart Kähler formunun de Rham sınıfıdır.

Gerçekler

• Totolojik çizgi demeti γ_{1, k} dır-dir yerel olarak önemsiz Ama değil önemsiz, için k ≥ 1. Bu, diğer alanlara göre geçerlidir.^{[kaynak belirtilmeli ]}

Aslında, bunu göstermek çok kolaydır. k = 1, gerçek totolojik çizgi demeti, iyi bilinen kümeden başkası değildir. toplam alan ... Mobius şeridi. Yukarıdaki gerçeğin tam bir kanıtı için bkz.^[5]

• Picard grubu satır demetlerinin sayısı ${ displaystyle mathbb {P} (V)}$ dır-dir sonsuz döngüsel, ve totolojik hat demeti bir jeneratördür.
• Totolojik demetin bir olduğu projektif uzay durumunda hat demeti, Ilişkili ters çevrilebilir demet bölümlerin ${ displaystyle { mathcal {O}} (- 1)}$, ters tensör (yani hiper düzlem demetinin ikili vektör demeti) veya Serre büküm demeti ${ displaystyle { mathcal {O}} (1)}$; başka bir deyişle, hiper düzlem demeti, pozitif dereceye sahip olan Picard grubunun oluşturucusudur (bir bölen ) ve totolojik demet bunun tam tersidir: negatif derece oluşturucu.

Ayrıca bakınız

• Hopf paketi
• Stiefel-Whitney sınıfı
• Euler dizisi
• Chern sınıfı (Chern totolojik demetler sınıfları, sonsuz Grassmannian'ın kohomoloji halkasının cebirsel olarak bağımsız üreteçleridir.)
• Borel teoremi
• Thom alanı (Totolojik demetlerin Thom uzayları γ_n gibi n → ∞, Thom spektrumu.)
• Grassmann paketi

Referanslar

Kaynaklar

• Atiyah, Michael Francis (1989), K-teorisiAdvanced Book Classics (2. baskı), Addison-Wesley, ISBN  978-0-201-09394-0, BAY  1043170
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Cebirsel geometrinin ilkeleri, Wiley Classics Kütüphanesi, New York: John Wiley & Sons, doi:10.1002/9781118032527, ISBN  978-0-471-05059-9, BAY  1288523.
• Hartshorne, Robin (1977), Cebirsel Geometri, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, BAY  0463157, OCLC  13348052.
• [M + S] John Milnor ve Jim Stasheff, Karakteristik Sınıflar, Princeton, 1974.
• Rubei Elena (2014), Cebirsel Geometri, kısa bir sözlük, Berlin / Boston: Walter De Gruyter, ISBN  978-3-11-031622-3